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[Jouons avec les nombres !!]
Cette page présente quelques
grands nombres premiers célèbres (voire les plus grands).
Ces informations sont extraites et traduites du très bon site "The
largest known primes". Au menu
:
- Quelques
rappels.
- Le Top 10 des nombres premiers :
- Plus grands nombres premiers.
- Plus grands nombres premiers jumeaux.
- Plus grands nombres premiers de type
Mersenne.
- Plus grands nombres premiers de type S.
Germain.
[Rappels] Un
nombre entier est dit premier s'il est uniquement divisible par 1 et
lui-même. Exemple : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Les grecs ont montré qu'il existait une infinité de nombres premiers,
répartis selon une suite irrégulière.
Au 19ème siècle, on a démontré que la quantité de nombres
premiers inférieurs ou égaux à n étaient équivalents (pour n grand)
à n/log n. Les
méthodes utilisées pour calculer des nombres premiers sont :
- Pour les "petits" nombres premiers (< 1.000.000) : on
utilise classiquement le crible d'Eratosthenes.
- Pour les plus grands nombres premiers, on s'appuie sur des cas
particuliers du théorème de Lagrange concernant la théorie des groupes. En
1984, Samuel Yates définît un nombre premier "Titanic" comme
un nombre premier disposant de plus de 1000 chiffres. Au moment où il
introduisit cette notion, il n'existait que 110 nombres premiers
"Titanic". A l'heure actuelle, on en dénombre 1000 fois plus et
cette croissance ne fait qu'augmenter à mesure des progrès effectués
dans le domaine de la puissance de calcul informatique et de la
cryptologie.
On s'attend à découvrir dans un futur proche des nombres premiers
contenant plus de 10 millions de chiffres.
[Le
Top 10 des nombres premiers] [Les
10 plus grands nombres premiers] Le
tableau ci-dessous représente les 10 plus grands nombres premiers
découverts (fin 2000).
| Nombre
premier |
Nb.
chiffre |
Découvreurs |
Année |
| 26972593-1 |
2098960 |
Hajratwala, Woltman,
Kurowski, GIMPS |
1999 |
| 23021377-1 |
909526 |
Clakson, Woltman,
Kurowski,
GIMPS |
1998 |
| 22976221-1 |
895932 |
Spence, Woltman, GIMPS |
1997 |
| 21398269-1 |
420921 |
Armengaud, Woltman, GIMPS |
1996 |
| 21257787-1 |
378632 |
Slowinski, Gage |
1996 |
| 4859465536+1 |
307140 |
Scott, Gallot |
2000 |
| 2859433-1 |
258716 |
Slowinski, Gage |
1994 |
| 2756839-1 |
227832 |
Slowinski, Gage |
1992 |
| 667071*2667071-1 |
200815 |
Toplic, Gallot |
2000 |
| 104187032768-1 |
197192 |
Gallot |
2000 |
Tableau n°1 : 10 plus grands nombres premiers
Le 1er janvier 1999, l'équipe
de Nayan Hajratwala, George Woltman e Scott Kurowski découvrèrent le
plus grand nombre premier à ce jour : 26972593-1, 38ème
nombre premier de Mersenne (programme Great Internet Mersenne Prime Search
: GIMPS). L'ordinateur personnel de
Hajratwala,
un Pentium 350 MHz (Aptiva), calcula le nombre premier en 111 jours en
utilisant les temps d'inactivité du processeur. S'il avait utilisé son
ordinateur à plein temps, il aurait mis 3 semaines.
Il fallut 2 semaines à un ordinateur de type station Alpha 500 MHz pour
vérifier que ce nombre était bien premier.
[Les
10 plus grands nombres premiers jumeaux] Un
nombre premier p est dit "jumeau" (twin prime) si p+2 est
également premier. Il est convenu, mais pas prouvé, qu'il existe une
infinité de nombres premiers jumeaux.
Le
tableau ci-dessous représente les 10 plus grands nombres premiers jumeaux
découverts (fin 2000).
| Nombre
premier Jumeau |
Nb.
chiffre |
Découvreurs |
Année |
| 665551035*280025±1 |
24099 |
Unerbakke,
Carmody, Gallot |
2000 |
| 1693965*266443±1 |
20008 |
La Barbera,
Jobling, Gallot |
2000 |
| 83475759*264955±1 |
19562 |
Unerbakke,
Jobling, Gallot |
2000 |
| 4648619711505*260000±1 |
18075 |
Indlekofer,
Jarai, Wassing |
2000 |
| 2409110779845*260000±1 |
18075 |
Indlekofer,
Jarai, Wassing |
2000 |
| 2230907354445*248000±1 |
14462 |
Indlekofer,
Jarai, Wassing |
1999 |
| 871892617365*248000±1 |
14462 |
Indlekofer,
Jarai, Wassing |
1999 |
| 361700055*239020±1 |
11755 |
Lifchitz |
1999 |
| 835335*239014±1 |
11751 |
Ballinger,
Gallot |
1998 |
| 242206083*238880±1 |
11713 |
Indlekofer,
Jarai |
1995 |
Tableau n°2 : 10 plus grands nombres premiers jumeauxRemarques
:
- Puisque trouver des nombres premiers jumeaux revient à trouver 2
nombres premiers, la difficulté de calcul est plus complexe, ce qui
explique la petite taille de ces nombres premiers.
- Le principe de nombre premier jumeau (i.e. 2 nombres premiers qui
diffèrent de 2) est généralisé aux nombres premiers k-uplets (i.e. 2
nombres premiers qui diffèrent de k). [Les
10 plus grands nombres premiers de Mersenne] Un
nombre premier est dit de type "Mersenne" s'il est de la forme 2p-1.
Prouver le caractère premier d'un nombre de Mersenne est relativement
facile, ce qui explique le fait que ce sont souvent les nombres premiers
les plus grands.
Le
tableau ci-dessous représente les 10 plus grands nombres premiers
Mersenne découverts (fin 2000).
| Nombre
premier de Mersenne |
Nb.
chiffre |
Découvreurs |
Année |
| 26972593-1 |
2098960 |
Hajratwala, Woltman,
Kurowski, GIMPS |
1999 |
| 23021377-1 |
909526 |
Clakson, Woltman,
Kurowski,
GIMPS |
1998 |
| 22976221-1 |
895932 |
Spence, Woltman, GIMPS |
1997 |
| 21398269-1 |
420921 |
Armengaud, Woltman, GIMPS |
1996 |
| 21257787-1 |
378632 |
Slowinski, Gage |
1996 |
| 2859433-1 |
258716 |
Slowinski, Gage |
1994 |
| 2756839-1 |
227832 |
Slowinski, Gage |
1992 |
| 2216091-1 |
65050 |
Slowinski |
1985 |
| 2132049-1 |
39751 |
Slowinski |
1983 |
| 2110503-1 |
33265 |
Welsh, Colquitt |
1988 |
Tableau n°3 : 10 plus grands nombres premiers Mersenne[Les
10 plus grands nombres premiers de type Sophie Germain] Un
nombre premier est dit de Sophie Germain s'il s'agit d'un nombre premier p
impair et que 2p+1 est également premier. Ils ont été nommés
ainsi après que Sophie Germain ait prouvé le premier cas du théorème
de Fermat (xn+yn=zn n'a pas de solution
entière différente de 0 pour n>2) pour des exposants divisibles par
de tels nombres premiers.
| Nombre
premier de S. Germain |
Nb.
chiffre |
Découvreurs |
Année |
| 109433307*266452-1 |
20013 |
Unerbakke,
Jobling, Gallot |
2001 |
| 3714089895285*260000-1 |
18075 |
Indlekofer,
Jarai, Wassing |
2000 |
| 18131*22817#-1 |
9853 |
Lifchitz |
2000 |
| 18458709*232611-1 |
9825 |
Kerchner, Gallot |
1999 |
| 415365*230052-1 |
9053 |
Scott, Gallot |
1999 |
| 1051054917*225000-1 |
7535 |
Jobling, Gallot |
2000 |
| 885817959*224711-1 |
7448 |
Shefl, Gallot |
2001 |
| 1392082887*224680-1 |
7439 |
Narayanan, Gallot |
2000 |
| 14516877*224176-1 |
7285 |
Kerchner, Gallot |
1999 |
| 72021*223630-1 |
7119 |
Gallot |
1998 |
Tableau n°4 : 10 plus grands nombres premiers de type
S. Germain
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